größter gemeinsamer Teiler

Der größte gemeinsame Teiler (ggT) ist ein mathematischer Begriff. Sein Pendant ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV). Beide spielen unter anderem in der Bruchrechnung und der Zahlentheorie eine Rolle.
Er ist die größte natürliche Zahl, durch die sich zwei ganze Zahlen ohne Rest teilen lassen.
Der



ggT


{\displaystyle \operatorname {ggT} }
zweier ganzer Zahlen



a


{\displaystyle a}
und



b


{\displaystyle b}
ist eine ganze Zahl



m


{\displaystyle m}
mit der Eigenschaft, dass sie Teiler sowohl von



a


{\displaystyle a}
als auch von



b


{\displaystyle b}
ist und dass jede ganze Zahl, die ebenfalls die Zahlen



a


{\displaystyle a}
und



b


{\displaystyle b}
teilt, ihrerseits Teiler von



m


{\displaystyle m}
ist. Beim Ring




Z



{\displaystyle \mathbb {Z} }
der ganzen Zahlen (der eine Totalordnung > besitzt) normiert man den



ggT


{\displaystyle \operatorname {ggT} }
auf die größte ganze solche Zahl




|

m

|



{\displaystyle |m|}
.
Der Begriff „groß“ in



ggT


{\displaystyle \operatorname {ggT} }
korreliert hochgradig mit der üblichen Ordnungsrelation > der ganzen Zahlen. Es gibt allerdings eine wichtige Ausnahme: Da die



0


{\displaystyle 0}
Vielfaches einer jeden ganzen Zahl



m


{\displaystyle m}
ist, ist



0


{\displaystyle 0}
in Teilbarkeitsfragen an „Größe“ nicht zu überbieten. Diese Auffassung ist in Einklang mit der Verbandsvorstellung (und der Idealtheorie) und vereinfacht einige der unten aufgeführten Rechenregeln.
Die englische Bezeichnung gcd (greatest common divisor) für



ggT


{\displaystyle \operatorname {ggT} }
ist in mathematischen Texten ebenfalls verbreitet.
Oft wird auch



(
a
,

b
)


{\displaystyle (a,\,b)}
als Kurzschreibweise für



ggT
⁡
(
a
,
b
)


{\displaystyle \operatorname {ggT} (a,b)}
verwendet.