Multiplizität

Unter Multiplizität oder Entartungsgrad versteht man in der Quantenmechanik die Anzahl der orthogonalen Zustände, die zu einer bestimmten Observablen einen bestimmten Eigenwert gemeinsam haben. Diese Zustände sind also entartete Eigenzustände zu dieser Observablen.
Ein Beispiel ist die Spinmultiplizität, die sich auf die Observable Gesamtspin einer Atomhülle bezieht. Im einfachsten Beispiel, dem Wasserstoffatom, kann das Elektron im Grundzustand einen von zwei orthogonalen Spinzuständen einnehmen. Ohne äußeres Magnetfeld haben die beiden Zustände denselben Eigenwert für die Energie und können also energetisch nicht unterschieden werden, d. h., sie bilden ein zweifach entartetes Energieniveau; die Multiplizität ist hier 2, das Niveau ist ein Dublett. In einem Magnetfeld spaltet das Niveau durch den Zeeman-Effekt in zwei Niveaus auf.
Ganz entsprechend heißt bei zwei Elektronen der Zustand mit Gesamtspin



S
=
0


{\displaystyle S=0}
Singulett, denn er spaltet nicht auf, und der Zustand mit Gesamtspin



S
=
1


{\displaystyle S=1}
Triplett, denn er spaltet im Magnetfeld 3fach auf.
Allgemein hat ein System mit Gesamtspin



S


{\displaystyle S}
die Spinmultiplizität



2
S
+
1


{\displaystyle 2S+1}
. Die



2
S
+
1


{\displaystyle 2S+1}
unabhängigen Zustände (und alle ihre Linearkombinationen) haben in vielen Fällen dieselbe Energie, unterscheiden sich aber z. B. in der Orientierung des Spins bezüglich einer ausgezeichneten Achse. Dies wird durch die



2
S
+
1


{\displaystyle 2S+1}
verschiedenen Eigenwerte




m

S




{\displaystyle m_{S}}
der z-Komponente des Spins ausgedrückt (siehe z. B. Richtungsquantelung in einem Magnetfeld):





m

S


=




−
S
,
−
S
+
1
,
…
,
S
−
1
,
S

⏟



2
S
+
1


Werte: Multiplizität



.


{\displaystyle m_{S}=\underbrace {-S,-S+1,\ldots ,S-1,S} _{2S+1\,{\text{Werte: Multiplizität}}}.}
Ein Energieniveau mit Spinmultiplizität



2
S
+
1


{\displaystyle 2S+1}
kann sich bei Auftreten zusätzlicher Wechselwirkungen in maximal



2
S
+
1


{\displaystyle 2S+1}
Niveaus aufspalten. In den Linienspektren von Atomen führt dies zu einer Feinstruktur.