Schiefkörper

Ein Schiefkörper oder Divisionsring ist eine algebraische Struktur, die alle Eigenschaften eines Körpers besitzt, außer dass die Multiplikation nicht notwendigerweise kommutativ ist.
Ein Schiefkörper ist somit ein Ring mit Einselement



1
≠
0


{\displaystyle 1\neq 0}
, in dem jedes Element



a
≠
0


{\displaystyle a\neq 0}
ein multiplikatives Inverses




a

−
1




{\displaystyle a^{-1}}
besitzt.
Als solcher ist für ihn die Charakteristik definiert.
Jeder Schiefkörper mit einer endlichen Anzahl von Elementen ist nach dem Satz von Wedderburn schon ein Körper, das heißt, die Multiplikation ist automatisch kommutativ. Ist ein Schiefkörper kein Körper, muss er demnach unendlich viele Elemente enthalten. Ein Beispiel ist der Schiefkörper der Quaternionen, er hat die Charakteristik 0.
Das Zentrum eines Schiefkörpers



S


{\displaystyle S}
ist ein (kommutativer) Körper



K


{\displaystyle K}
, und mittels der Inklusion wird



S


{\displaystyle S}
zu einer



K


{\displaystyle K}
-Algebra. Die Gesamtheit derjenigen Schiefkörper mit einem vorgegebenen Zentrum



K


{\displaystyle K}
, die als



K


{\displaystyle K}
-Vektorraum endlichdimensional sind, wird durch die Brauergruppe von



K


{\displaystyle K}
beschrieben.
Es existieren nichtkommutative Schiefkörper, die eine mit den Verknüpfungen des Schiefkörpers verträgliche, totale Anordnung zulassen. Sie werden als angeordnete Schiefkörper bezeichnet.
Zur algebraischen Beschreibung einer affinen Ebene oder einer projektiven Ebene werden in der synthetischen Geometrie für desarguesche Ebenen Schiefkörper als Koordinatenbereiche eingesetzt. Zur Beschreibung nichtdesarguescher (affiner oder projektiver) Ebenen werden dort zum gleichen Zweck unter anderem Alternativkörper, Quasikörper und Ternärkörper verwendet. Dabei wird der Begriff Schiefkörper verallgemeinert: Jeder Schiefkörper ist ein Alternativkörper, jeder Alternativkörper ein Quasikörper und jeder Quasikörper ein Ternärkörper.