Dirac-Notation

Die Dirac-Notation, auch Bra-Ket-Notation, ist in der Quantenmechanik eine Notation für quantenmechanische Zustände. Die Notation geht auf Paul Dirac zurück. Die ebenfalls von ihm eingeführte Bezeichnung Bra-Ket-Notation ist ein Wortspiel mit der englischen Bezeichnung für eine Klammer (bracket). In der Bra-Ket-Notation wird ein Zustand ausschließlich durch seine Quantenzahlen charakterisiert.
In der Bra-Ket-Notation schreibt man die Vektoren eines Vektorraums



V


{\displaystyle V}
auch außerhalb eines Skalarprodukts mit einer spitzen Klammer als Ket




|

v
⟩


{\displaystyle |v\rangle }
. Jedem Ket




|

v
⟩


{\displaystyle |v\rangle }
entspricht ein Bra



⟨
v

|


,


{\displaystyle \langle v|\,,}
der dem Dualraum




V

∗




{\displaystyle V^{*}}
angehört, also eine lineare Abbildung von



V


{\displaystyle V}
in den zu Grunde liegenden Körper



K


{\displaystyle K}
repräsentiert, und umgekehrt. Das Ergebnis der Operation eines Bras



⟨
v

|



{\displaystyle \langle v|}
auf einen Ket




|

w
⟩


{\displaystyle |w\rangle }
wird



⟨
v

|

w
⟩


{\displaystyle \langle v|w\rangle }
geschrieben, womit der Zusammenhang mit der konventionellen Notation des Skalarprodukts hergestellt ist.
In der Physik wird die Notation verwendet, gleich ob es sich dabei um Vektoren eines Vektorraumes oder um Funktionen in einem Hilbert-Raum handelt. Die mathematische Rechtfertigung für die Bra-Ket-Notation ergibt sich aus dem Satz von Fréchet-Riesz, den F. Riesz und M. Fréchet 1907 unabhängig voneinander bewiesen. Er besagt unter anderem, dass ein Hilbertraum und sein topologischer Dualraum isometrisch isomorph zueinander sind. In unserem Zusammenhang: Zu jedem Ket




|

v
⟩


{\displaystyle |v\rangle }
existiert das entsprechende Bra



⟨
v

|



{\displaystyle \langle v|}
, und umgekehrt.