Bernoulli-Gleichung

Die Bernoulli-Gleichung, die auch als Gesetz von Bernoulli oder (uneindeutig) als Satz von Bernoulli bezeichnet wird, ist eine Aussage über Strömungen nach Bernoulli und Venturi. Die Theorie über diese im Wesentlichen eindimensionalen Strömungen entlang eines Stromfadens wurde im 18. Jahrhundert von Daniel Bernoulli und Giovanni Battista Venturi angelegt und stellt die Grundlage für wichtige aero- und hydrodynamische Berechnungen dar.
Die Bernoulli-Gleichung besagt bei der stationären Strömung viskosität­sfreier inkompressibler Fluide (Flüssigkeiten und Gase), dass die spezifische Energie der Fluidelemente entlang einer Stromlinie konstant ist:




e
=



u

2


2


+


p
ρ


+
g

z
=

konstant entlang einer Stromlinie



{\displaystyle e={\frac {u^{2}}{2}}+{\frac {p}{\rho }}+g\,z={\text{konstant entlang einer Stromlinie}}}
Hier ist u die Geschwindigkeit, p der Betriebs­druck, ρ die Dichte, g die Schwerebeschleunigung und z die Höhe über einer Bezugsebene im Schwerefeld der Erde. Der Betriebsdruck ist derjenige Anteil am statischen Druck, der nicht aus dem Eigengewicht des Fluids resultiert. Der erste Summand stellt die spezifische kinetische Energie, der zweite die spezifische Druckenergie und der dritte die spezifische Lageenergie dar. Die auf der Stromlinie konstante spezifische Gesamtenergie e wird durch geeignete Bezugswerte auf der Stromlinie festgelegt und stellt ein Integral der Bewegung entlang der Stromlinie dar.Die Multiplikation der Gleichung mit der (konstanten) Dichte ρ ergibt die bernoullische Druckgleichung





p

tot


=
ρ
e
=
ρ



u

2


2


+
p
+
ρ

g

z
=

konstant entlang einer Stromlinie



{\displaystyle p_{\text{tot}}=\rho e=\rho {\frac {u^{2}}{2}}+p+\rho \,g\,z={\text{konstant entlang einer Stromlinie}}}
in der der Totaldruck




p

tot


=
ρ
e


{\displaystyle p_{\text{tot}}=\rho e}
die Summe aus dem dynamischen Druck




p

dyn


=



ρ
2




u

2




{\displaystyle p_{\text{dyn}}={\tfrac {\rho }{2}}u^{2}}
und dem statischen Druck




p

stat


=
p
+
ρ
g
z


{\displaystyle p_{\text{stat}}=p+\rho gz}
, der sich aus dem Betriebsdruck



p


{\displaystyle p}
und dem Gewichtsdruck der Fluidsäule



ρ
g
z


{\displaystyle \rho gz}
zusammensetzt. Division der Energiegleichung durch die (konstante) Schwerebeschleunigung g liefert eine Höhengleichung, die die ursprüngliche von Bernoulli angegebene Form darstellt:




h
=


e
g


=



u

2



2
g



+


p

ρ
g



+
z
=

konstant entlang einer Stromlinie



{\displaystyle h={\frac {e}{g}}={\frac {u^{2}}{2g}}+{\frac {p}{\rho g}}+z={\text{konstant entlang einer Stromlinie}}}
In ihr ist die Summe der Geschwindigkeitshöhe







u

2



2
g






{\displaystyle {\tfrac {u^{2}}{2g}}}
, der Druckhöhe






p

ρ
g






{\displaystyle {\tfrac {p}{\rho g}}}
und der geodätischen Höhe z (im verlustfreien Fall) konstant und gleich der Energiehöhe






e
g





{\displaystyle {\tfrac {e}{g}}}
.
Instationarität der Strömung, Kompressibilität und Viskosität des Fluids sowie Rotation des Bezugssystems können durch Erweiterungen der Bernoulli-Gleichung berücksichtigt werden. So findet sie ein breites Anwendungsspektrum in der Auslegung technischer Rohrströmungen, im Turbomaschinen- und Windenergieanlagen­bau sowie bei Messgeräten (Pitotrohr, Prandtlsonde).